円運動とは、物体が円の円周上を進む運動のことです。
このうち速さが一定の場合を「等速円運動」といいます。
ちなみに、物体が真っすぐ進んでいる場合は「直線運動」です。
特に速さが一定である「等速直線運動」をしている物体の移動距離は、速さ×時間で求められましたね。
上の図からも分かるように、二つの運動の大きな違いはスタート地点に戻ってくるかどうかです。
直線運動は、物体に力を加えるなどして向きを変えない限り、スタート地点からどんどん離れていきます。
これに対して円運動は、円を１周するとまたスタート地点に戻ります。
この特徴はとても重要なので、覚えておいて下さい。
角速度と速さ
円運動では、これまで見ることの無かった「角速度」という言葉が出てきます。
角速度とは、円運動している物体が１秒間にどのくらいの角度進んだかを表しており、
量記号は\(ω\)、単位は[rad/s]です。
「rad」は(ラジアン)と読み、角度を表す表記の一つです。
図のような半径\(r\)[m]の円において、円弧の長さも半径と同じ\(r\)[m]となる時の中心角を、「１ラジアン」と定義しています。
この定義があるおかげで、半径と中心角から、円弧の長さを求めることができます。
上の図では半径\(r\)[m]、中心角１[rad]の円弧の長さが\(r\)[m]なので、
つまりは円弧の長さ[m]＝半径(\(r\)[m])×中心角(１[rad])です。
これを一般的な形で表すと、半径\(r\)、中心角\(θ\)[rad]の円弧の長さ\(l\)は、
\(l\)＝\(r\)\(θ\)・・・①
で求められます。
これまでは「°」(度)を使って表していたかもしれませんが、高校の数学や物理ではラジアンを使うようになりますので、少しずつ慣れていってください。
ちなみに「度」と「ラジアン」の間には、一例として次のような関係があります。
30°＝ \(\Large\frac{π}{6}\)[rad]、60°＝ \(\Large\frac{π}{3}\)[rad]、90°＝ \(\Large\frac{π}{2}\)[rad]
180°＝ \(π\)[rad]、270°＝ \(\Large\frac{3π}{2}\)[rad]、360°＝ \(2π\)[rad]
ここで、物体が下図のスタート地点から円運動を始め、\(t\)秒間で角度\(θ\)[rad]だけ進んだとします。
この時の角速度\(ω\)は、進んだ角度をかかった時間で割って、
\(ω\)[rad/s]＝\(\Large\frac{θ}{t}\)・・・②
となります。
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次に、物体が等速円運動をしている時の、速さを求めてみましょう。
物体が\(t\)秒間に進んだ距離は図の赤色の部分なので、これを\(l\)[m]とすると、
①式の関係より、\(l\)＝\(rθ\)と表すことができます。
物体の速さ\(v\)は、この距離をかかった時間で割ればいいので、
\(v\)[m/s]＝\(\Large\frac{l}{t}\)＝\(\Large\frac{rθ}{t}\)・・・③
②を変形すると\(θ\)＝\(ωt\)でなので、これを③に代入して、最終的に\(v\)＝\(r\)\(ω\)となります。
ここで、ちょっとした問題をやってみましょう。
ある物体が、半径２[m]の円周上を2秒かけて１周した。
なお、物体は等速円運動をしたものとする。
(1)このときの角速度を求めよ。
(2)この物体の速さを求めよ。
(解答)
(1)角速度とは、「１秒間に進んだ角度」のことでした。
今回、物体は２秒かけて１周したので、
２秒かけて進んだ角度は360度、ラジアンで表すと\(２π\)[rad]です。
よって求める角速度は、\(\Large\frac{２π}{２}\)＝\(π\)[rad/s]となります。
(2)物体が進んだトータルの距離は、半径２[m]×中心角\(２π\)＝\(４π\)です。
２秒でこの距離を進んだので、求める速さは、\(\Large\frac{４π}{２}\)＝\(２π\)[m/s]となります。
※進んだ距離を出す際に、先程の\(l\)＝\(r\)\(θ\)の関係を使いましたが、もちろんおなじみの「円周＝半径×２×\(π\)」の公式でも出すことができます。
結果を見ると、角速度と物体の速さはそれぞれ違う値になりましたね。
つまり、角速度と物体の速さは別物ということです。
間違えやすいですが、角速度＝物体の速さではないことに注意してください。
あくまで角速度は「１秒間に進んだ角度」、速さは「１秒間に進んだ距離」です。
等速円運動の周期
物体が等速円運動している時、１周するのにかかる時間を周期といい、量記号\(T\)、単位[s](秒)で表します。
なぜ周期というものが存在するかというと、等速円運動をしている物体は、決まった時間間隔でスタート地点を通過するからです。
例えば、スタートしてから３秒後に１周、６秒後に２周、９秒後に３周したとすると、
１周するのに３秒かかっているので、すなわち周期は３[s]ということです。
また、２周するのに６秒かかっているので、周期は\(\Large\frac{6}{2}\)＝\(３\)[s]でも求められます。
３周の場合も同様です。
これらの関係を一般的な式で表してみましょう。
今、ある物体が半径\(r\)[m]の円を速さ\(v\)[m/s]で等速円運動しているとします。
この円の１周分の長さは\(２πr\)[m]なので、１周するのにかかる時間は\(\Large\frac{2πr}{v}\)[s]です。
ここで、\(v\)＝\(rω\)を代入すると、\(\Large\frac{2πr}{rω}\)＝\(\Large\frac{2π}{ω}\)[s]となります。
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以上、円運動の基本事項について紹介しました。
これ以外の細かい点は他にもいくつかありますが、また随時紹介していきたいと思います。
基本的な事柄ですが、問題を解く際に頻繁に使うようになるので、頭の隅に入れておいて下さいね。