問題演習

糸でつながれた物体の運動

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(問)

図のように、あらい水平面に質量Mの物体Aが置かれており、なめらかな滑車を介して質量mの物体Bと糸で水平につながれて静止している。

重力加速度をg、水平面の静止摩擦係数及び動摩擦係数をそれぞれμ、μ'として、以下の問に答えよ。

(1)物体Aがすべり出すための条件を求めよ。

(2)物体Aがすべり出した時、その加速度と糸の張力の大きさを求めよ。

問題文には「あらい水平面」とありますので、物体Aと面との間には摩擦がはたらいています。

これを踏まえて、各物体にはたらいている力を図示してみます。


(物体A)

\(T\)・・・糸の張力
\(F\)・・・物体Aと面との摩擦力
\(Mg\)・・・物体Aにはたらく重力
\(N\)・・・垂直抗力(←物体Aにはたらく重力\(Mg\)の反作用)

(物体B)

\(mg\)・・・物体Bにはたらく重力
\(T\)・・・糸の張力

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(1)静止している時、各物体に働く力はつり合っているので、

物体Aについては、
\(T\)=\(F\)・・・① 
\(N\)=\(Mg\)・・・②

物体Bについては、
\(T\)=\(mg\)・・・③

が成り立ちます。

物体Bの質量をどんどん大きくしていった時、糸を通じて物体Aに右向きの力がはたらきますが、すべり出す直前まで摩擦力が持ちこたえるので静止しています。

この、ギリギリまで頑張っている時の摩擦力を「最大静止摩擦力」といい、静止摩擦係数と垂直抗力を用いて、下記のように表します。

最大静止摩擦力:\(Fo\)=\(μN\)

つまり、すべり出す直前において、物体Aにはたらく摩擦力は最大静止摩擦力(=\(Fo\))となります。

上記の最大静止摩擦力の式と、①~③式を使うと、すべり出す直前の物体Aにはたらく力のつり合い式は、

\(mg\)=\(μMg\)

この状態から少しでも物体Bの質量が大きくなると、摩擦力は右向きの力に負けます。

つまり、

\(mg\)>\(μMg\)

となった時、物体Aは動き出すということです。

よって求める条件は、

\(m\)>\(μM\)

となります。

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(2)物体Aは物体Bに引っ張られてすべり出すので、移動中も糸はピンと張ったままです。

よって、糸の張力と、二つの物体の加速度は同じです。

まず行うのが、各物体について運動方程式を立てることです。

●運動方程式

ある質点の質量を\(m\)、加速度を\(a\)、かかる力を\(F\)とすると、下記の式が成り立つ。

$$ma=F$$

なお、(2)では物体Aは運動していますので、物体Aと面との間にはたらく摩擦力は「動摩擦力」となります。

動摩擦力は、動摩擦係数と垂直抗力を用いて、下記のように表します。

動摩擦力:\(F'\)=\(μ'N\)

各物体について運動方程式を立てることができれば、あとはこれらを連立方程式として解くことで求められます。

加速度を\(a\)とすると、各物体の運動方程式は、

(物体A)

\(Ma\)=\(T\)-\(μ'Mg\)・・・・・③

(物体B)

\(ma\)=\(mg\)-\(T\)・・・・・④

③と④を連立方程式として辺々を加えると、

\(Ma\)+\(ma\)=\(mg\)-\(μ'Mg\)

\((M+m)a\)=\((m-μ'M)g\)

これを解いて、

\(a\)=\(\frac{m-μ'M}{M+m}g\)・・・・・⑤

また、④より\(T\)=\(mg\)-\(ma\)であるから、これに⑤の結果を代入すると、

\(T\)=\(mg\)-\(m\frac{m-μ'M}{M+m}g\)

=\(\frac{mg(M+m)-m^2g+μ'Mmg}{M+m}\)

=\(\frac{Mmg+m^2g-m^2g+μ'Mmg}{M+m}\)

\(\frac{(1+μ')Mmg}{M+m}\)

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最後に、補足も兼ねてこの問題のポイントを簡単に書いておきます。

(ポイント1 ~運動方程式は各物体それぞれについて立てる~)

着目する物体を決めたら、その物体が受ける力を全て考えます。

運動方程式にもある\(F\)は、立てようとしている物体が移動中に働いている力を、全て書かなければなりません。

(ポイント2 ~物体が置かれている面の状態に注意~)

摩擦のあるなしは、直接問題文にかかれていないことが多く、代わりに面の状態が条件として与えられていることが多いです。

・なめらかな水平面→摩擦がない

・あらい水平面→摩擦がある

なお、摩擦力は必ず、物体の運動方向とは逆向きに働きます。

(ポイント3 ~力のつり合いの有無に注意~)

物体が静止していたり等速で運動している場合、その物体に働く力はつりあっています。

物体が加速度運動している場合、その物体に働く力はつりあっていません。







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