落体の運動

鉛直下方投射と鉛直上方投射

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自由落下では、ボールを持ち上げて、そっと手を離す状況を例に挙げました。

今回ご紹介する鉛直下方投射と鉛直上方投射も、自由落下と状況は似ていますが、明確な違いがひとつあります。

それは、ボールの投げ初めに初速度(勢い)を与える点です。

ボールを持ち上げるまでは自由落下と同じですが、

そっと離す
自由落下

勢いよく下向きに投げつける
鉛直下方投射

勢いよく上向きに放り投げる
鉛直上方投射

このような違いがあります。(「鉛直」なので、それぞれ真下、真上に投げていると思ってください)

基本の式に当てはめる

鉛直下方投射も鉛直上方投射も、ベースとなるのは下記の等加速度直線運動の式です。

$$v=v_0+at$$

$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$v^2-v_0^2=2ax$$

まず鉛直下方投射の場合、

自由落下と同じく、落下する物体には重力加速度が生じています。

初速度\(v_0\)については、自由落下とは異なりゼロではありません。

すなわち、式中の\(v_0\)はそのままで、aにgを当てはめて、下記のようになります。

$$v=v_0+gt$$

$$y=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$

$$v^2-v_0^2=2gy$$

この式は、鉛直下向きを正とした場合であることに注意してください。

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次に、鉛直上方投射を見ていきます。

鉛直上方投射の物体の動きですが、投げ上げた瞬間からしばらくの間、物体は上向きに上昇していきます。

ですが、どんどんスピードが落ちていって一瞬静止し、今度は下向きに落ちていきます。

一般的に、等加速度直線運動の式に当てはめた式としては、下記のようなものがよく見られます。

$$v=v_0-gt$$

$$y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$

$$v^2-v_0^2=-2gy$$

この式は、鉛直上向きを正とした場合の式です。

今回、初速度\(v_0\)は上向きなのでプラス、重力加速度gは下向きなので、マイナスの符号が付いています。

もし仮に鉛直下向きを正とするならば、重力加速度ではなく、上向きである初速度にマイナスの符号が付きます。

ですが、どちらかと言えば初速度がプラスになる向き(=鉛直上向き)を正とした方が、問題を解くうえでは混乱しにくいかと、経験上思います。

鉛直上方投射の具体例

ここでひとつ、鉛直上方投射の例題を見ていきましょう。

(例題)

ある物体を、ビルの屋上から鉛直上向きに19.6m/sで投げ上げた。次の問いに答えよ。

ただし、重力加速度の大きさを9.8\(m/s^2\)とし、物体とヒトの大きさは考えないものとする。

(1) 物体が最高点に達する時刻\(t_1\)[s]を求めよ。

(2) 物体が達する最高点の、屋上からの高さh[m]を求めよ。

(3) 投げ上げてから10秒後に、物体は地上に到達した。ビルの高さH[m]を求めよ。

この例題の状況を図示すると、下記のようになります。

物体の動きは、投げ上げられた後しばらく上向きに進み、最高点で一瞬静止して、その後は重力にまかせて下向きに落ちていきます。

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まず(1)ですが、最高点に到達した物体の大きな特徴は、速度がゼロになることです。

逆に言えば、物体の勢いが無くなった瞬間に達していた位置、それが最高点というわけです。

今回、鉛直上向きに投げ上げているため、鉛直上向きを正として、鉛直上方投射の式を使います。

条件として与えられているのは初速度\(v_0\)と重力加速度gなので、一番目の式「\(v=v_0-gt\)」が使えそうです。

この式のvに0[m/s](速度がゼロになったので)、\(v_0\)に19.6[m/s]、gに9.8\([m/s^2]\)をあてはめると、

\(0=19.6-9.8*t_1\)

\(∴ t_1=2.0[s]\)

物体は、投げ上げてから2秒後に、最高点に達することが分かります。

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次に(2)ですが、これは投げ上げた地点から最高点までの変位ですから、鉛直上方投射の二番目の式「\(y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)」にそのまま値を代入して求めることができます。

最高点に達した時刻は(1)より2秒後なので、最高点の高さh[m]は、

\(h=19.6*2-\frac{1}{2}*9.8*2^2=19.6[m]\)

となります。

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最後に(3)ですが、図を見てみると、ビルの高さというのは、物体を投げ上げた地点から地上までの長さです。

これはすなわち、物体が運動を開始した地点と、運動を終了した地点とも言えます。

ここでもう一度、鉛直上方投射の変位の式を見てみましょう。

$$y=v_0t-1/2gt^2$$

この式の「y」は、物体の「変位」を表しています。

変位とは、観測を始めてからある時刻の間までの、物体の位置の変化量のことです。

つまり、物体が最初の位置からどれだけ変化したか、というのが変位です。

物体が実際に進んだ経路の長さではありません。あくまで、スタート地点とゴール地点との差を言います。

今回、10秒後に地上に達したとありますので、\(y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)に各値を代入すると、

\(19.6*10-\frac{1}{2}*9.8*10^2\)
\(=196-490\)
\(=-294[m]\)

数値にマイナスが付く理由は、投げ上げた位置を基準(=0)として、基準から上側を正、下側を負としているためです。

ビルの高さは「大きさ」なのでプラスの値ですから、答えは294[m]となります。

((3)の別解)

問題文より、投げ上げてから地上に達するまでの時間が10秒、このうち最高点に達するまでは、(1)より2秒かかっているので、

最高点から地上に到達するまでは、10-2=8秒かかっていることになります。

最高点から地面までは、物体は自由落下運動をしていますから、自由落下の変位の式\(y=\frac{1}{2}gt^2\)に各値を代入すると、

\(19.6+H=\frac{1}{2}*9.8*8^2\)

\(∴ H=294[m]\)

となります。

今回用いた自由落下の変位の式は、元々鉛直下向きを正とした時場合の式ですので、結果もそのままプラスの値となります。

※別解では、変位yに当てはめるのは(「投げ上げた地点から最高点までの高さ」+「求めたいビルの高さ」)であることに注意してください。







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