落体の運動

自由落下も運動の向きが大切

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本項では、等加速度直線運動の中でも最もシンプルな、自由落下について解説していきます。

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初めに一例を挙げますと、ボールを手に持って目の高さまで持ち上げ、そっと手を離すと、ボールはそのまま落下していきますよね。

このボールの動きがまさに「自由落下」で、落下している最中のボールにかかっている力は、重力のみです。

手で持ち上げる場合でも、何か機械を使って持ち上げる場合でも、そっと離すことがポイントです。

自由落下では、落下し始めた瞬間の速度、すなわち初速度は「ゼロ」です。

もしもボールを手の力で下に投げつけた場合、初速度が発生しますので、「鉛直下方投射」に該当します。

基本の式に当てはめる

物体の自由落下の様子を、具体的に式で表してみましょう。

等加速度直線運動で紹介しました、下記の式を使います。

$$v=v_0+at$$

$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

$$v^2-v_0^2=2ax$$

自由落下では初速度はゼロですから、上記の式の\(v_0\)も「0」です。

そして、先にも話しましたように、落下する物体には重力のみしかかかっていません。

ですので、加速度を表す\(a\)の代わりとして、加速度の重力バージョンである、重力加速度\(g\)を使います。

これらを上記の式に当てはめたものが、下記の式です。

$$v=gt$$

$$y=\frac{1}{2}gt^2$$

$$v^2=2gy$$

自由落下では初速度\(v_0\)がゼロなので、\(v_0\)に関係した項はすべて無くなっています。

(なお、今後水平投射や斜方投射を扱う時は鉛直方向の成分も考えるため、都合が良いように変位をxからyの表記へと変えています。)

ここで思い起こしてほしいのが、この運動も向きが考慮されているということです。

(自由落下に限らず、高校物理の世界では物体等が運動している向きも考えます。)

上記は教科書にも載っており馴染み深い式ですが、厳密には、鉛直下向きを正とした場合の式です。

なぜ、鉛直下向きを正とした場合にこのような式になるかと言いますと、重力加速度の向きと同じだからです。

大前提として、重力は地上に向かう方向、すなわち鉛直下向きに働いています。

重力が働く向きは、この地球上どこに行っても、絶対に変わりません。

もしも鉛直上向きに重力(この場合重力と言って良いのかは分かりませんが)が働いてしまうと、人も車も建物もみんな、宇宙に投げ出されてしまいます。

重力と同じ向きを正にとると上記の式になるとすれば、逆に、鉛直上向きを正とした場合、重力加速度は定義した向きと逆向きに働いていますから、自由落下の式は下記のようになります。

● \(v=-gt\)

● \(y=-\frac{1}{2}gt^2\)

● \(v^2=-2gy\)

単純に、重力加速度にマイナスが付いただけの状態ですね。

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教科書では、鉛直下向きを正とした場合の式が載っていることが多いですが、もしも問題文に「鉛直上向きを正とする」などと書かれていた場合は、式そのままの形では使えません。

なので、定義されている向きがどちらなのか、そのためにどういった式を使えば良いのかを、その都度判断するようにしてください。







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