力学的エネルギー 問題演習

力学的エネルギー保存則の利用(単振り子)

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(問)

長さ\(l\)の軽い糸に、質量\(m\)のおもりをつけた単振り子がある。

このおもりを、図のように糸が鉛直方向と60°の角度をなす地点まで持ち上げて静かに離したところ、おもりは振り子運動を行った。

重力加速度の大きさを\(g\)、空気抵抗は無視できるものとして、次の問いに答えよ。

(1)最下点におけるおもりの速さを求めよ。
(2)おもりが、鉛直方向とのなす角が\(θ\)の地点に達した時のおもりの速さを求めよ。

おもりにはたらく力は「重力」と「糸の張力」ですが、張力はおもりの進行方向に対して常に垂直なので、おもりに対して仕事をしません。

つまり、おもりの運動に関与している力は重力(=保存力)のみなので、おもりの力学的エネルギーは一定となります。

まず(1)ですが、初めに、離した地点(スタート地点)の力学的エネルギーを求めてみます。

力学的エネルギーは、位置エネルギーと運動エネルギーの和でした。

●位置エネルギー

まずおもりの高さを求めるために、基準点を決める必要があります。

基準点はどこに決めてもよいのですが、おもりは最下点より下にくることは無いので、最下点を位置エネルギーの基準点とすると、計算が楽になります。

おもりの高さについては、図に少し手を加えてみましょう。

図のように水平線を引くと、スタート地点の基準点からの高さ(\(h\))は、②-①で求められます。

よって、高さは\(l-lcos60°\)=\(l-\Large\frac{l}{2}\)=\(\Large\frac{l}{2}\)であることから、

位置エネルギーは\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)となります。

●運動エネルギー

スタート地点では、まだおもりに速さがありません。

よって、運動エネルギーはゼロです。

したがって、スタート地点の力学的エネルギーは、

\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)+\(0\)=\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)・・・・・③

です。

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続いて最下点を見ていきます。

●位置エネルギー

基準点としている位置なので高さがありません。

よって、位置エネルギーはゼロです。

●運動エネルギー

最下点における速さを\(v\)とすると、\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)です。

よって、最下点の力学的エネルギーは、

\(0\)+\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)=\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)・・・・・④

となります。

力学的エネルギー保存則より③=④なので、

\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)=\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)

ゆえに、\(v\)=\(\sqrt{gl}\)です。

(2)については、鉛直方向とのなす角が一意に定まってないだけで、考え方は(1)と同じです。

図において、おもりの基準点からの高さ(\(h'\))は、

\(l-lcosθ\)=\(l(1-cosθ)\)

よって、位置エネルギーは\(mgl(1-cosθ)\)です。

また、この地点におけるおもりの速さを\(v'\)とすると、運動エネルギーは\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv'^2\)となります。

よって、この地点の力学的エネルギーは、

\(mgl(1-cosθ)\)+\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)・・・・・⑤

です。

力学的エネルギー保存則より③=⑤なので、

\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)=\(mgl(1-cosθ)\)+\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)

\(\Large\frac{1}{2}\)\(mv^2\)=\(-mgl\)+\(mglcosθ\)+\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)

=\(mglcosθ\)-\(\Large\frac{1}{2}\)\(mgl\)

\(v'^2\)=\(2glcosθ\)-\(gl\)

よって、\(v'\)=\(\sqrt{gl(2cosθ-1)}\)です。

試しに、この結果に\(θ\)=\(0°\)を代入してみましょう。

\(v'\)=\(\sqrt{gl(2cos0°-1)}\)

=\(\sqrt{gl(2×1-1)}\)

=\(\sqrt{gl}\)

\(θ\)が\(0°\)となるのは、おもりが最下点にある場合なので、(1)の結果と一致しましたね。

同じ要領で、鉛直方向とのなす角が\(30°\)や\(60°\)の時の速さを求めることができます。

なお、\(θ\)=\(60°\)を代入すると\(v'\)=\(0\)となりますが、これは単振り子において力学的エネルギーが保存される場合、おもりはスタート地点と同じ高さまで上がることを示しています。

今回、力学的エネルギー保存則を使って解いていきましたが、小球がコースターの上を運動する問題でも同じような解き方をしています。

このように運動の状況が違っても、基準点を決めて力学的エネルギー保存則を使える問題はいくつもありますので、繰り返し練習して慣れていってくださいね。







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