力学的エネルギー

「保存力」と「力学的エネルギー保存則」

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力学分野で扱う重要な法則のひとつに、「力学的エネルギー保存則」があります。

物体に保存力のみがはたらいている場合、その物体の力学的エネルギーは一定である。

物体に保存力以外の力がはたらいていても、それらの力のする仕事がゼロの場合、その物体の力学的エネルギーは一定である。

なお、力学的エネルギーとは、物体の位置エネルギーと運動エネルギーを足し合わせたものです。

<位置エネルギー>

物体の「位置」によって決まるエネルギー

(例)質量\(m[kg]\)の物体が基準点から\(h[m]\)の高さにあるとする。
重力加速度を\(g[m/s^2]\)とすると、この物体の位置エネルギーは、\(mgh\)と表される。

この例の場合は重力が関係しているため、厳密には「重力による位置エネルギー」といいます。
(位置エネルギーには、重力の他にも「弾性力による位置エネルギー」「万有引力による位置エネルギー」などがあります。)

<運動エネルギー>

運動している物体がもっているエネルギー。物体の質量と、速さの2乗に比例する。

(例)質量\(m[kg]\)の物体が速さ\(v[m/s]\)で運動しているとき、
この物体の運動エネルギーは、\(\frac{1}{2}mv^2\)である。

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一般的に物体が運動しているとき、その物体の位置や速さは刻々と変化する場合がほとんどです。

これにともなって位置エネルギーも運動エネルギーも増減しますが、ある条件の元では総和(トータルの量)は変わらないことを、力学的エネルギー保存則は示しています。

その条件が、冒頭にも書きました「保存力のみがはたらいている場合」です。

例えば、保存力のひとつである「重力」のみがはたらく空間では、力学的エネルギーは一定です。

保存力とは?

保存力とは、

移動させようとする力のする仕事が、物体の移動経路に関係なく同じである場合、
その物体に元々はたらいていた力

のことです。

言葉だけではイメージしにくいので、以下に具体例として、物体を別の地点へ移動させる状況を考えてみます。

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今、地面から\(h[m]\)の高さにいるA君が、質量\(m[kg]\)の物体を、真上に一生懸命引っ張り上げようとしています。

重力加速度を\(g[m/s^2]\)とすると、物体には下向きに重力\(mg\)がはたらいています。

なので物体を\(h[m]\)の高さまで引っ張りあげるためには、A君は\(mg\)に相当する力\(F\)で、物体が\(h[m]\)移動するまで力を加え続けなければ行けません。

物体を地上から\(h[m]\)の高さまで引っ張り上げるまでにA君がした仕事は、\(mgh[J]\)です。

●ポイント

物体に一定の力\(F[N]\)を加え続けて、その力の向きに距離\(s[m]\)だけ動かしたとき、力が物体にした仕事\(W\)は、

$$W=F×s[J]$$

である。

仕事=(加えた力)×(力の向きへの移動距離)

さて、今度は同じ物体を、A君と同じ高さにいるB君が引き上げます。

B君は少し楽をしようと考えて、水平面より角度\(θ\)だけ傾斜のある斜面上に物体を乗せ、斜面に沿って引き上げました。

斜面と物体の間に摩擦は無いものとします。

A君の場合と同様、物体には重力\(mg\)がはたらいていますが、重力のはたらく向きは常に鉛直下向きなので、B君が引き上げる方向と同一線上にありません。

B君が引き上げる方向と同一線上にあるのは、物体にはたらいている重力\(mg\)の斜面方向の成分\(mg\sinθ\)です。

このためB君は、\(mg\sinθ\)と同じ力\(F'\)で引き上げることになります。

また、物体を移動させるトータルの距離については、三角比の公式より、\(\frac{h}{\sinθ}[m]\)となります。

したがって、B君がした仕事は、

\(mg\sinθ\)×\(\frac{h}{\sinθ}\)

=\(mgh[J]\)

です。

結局、A君とB君とで、加えた力のした仕事は等しいことがわかります。

B君は\(mg\)よりも小さい力で引き上げたので楽をしたように見えますが、その分移動距離が増えたので労力は同じなわけです。

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では、これら一連の状況で、元々物体に何がはたらいていたでしょうか?

今回、斜面と物体との間に摩擦はありませんので、物体にはたらいていた力は「重力」です。

移動させようとする力のする仕事(ここではA君とB君がした仕事)が、物体の移動経路に関係なく(真上に引き上げても斜面上を引き上げても関係なく)同じでした。

重力は、こうした状況で物体に元々はたらいていたので、「保存力と言える」ということです。

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重力以外に保存力に該当するものとしては、弾性力静電気力万有引力などがあります。

逆に、保存力ではないもの(非保存力)の代表格は、摩擦力です。

先程の例で、もし斜面と物体の間に摩擦がある状態だと、A君とB君がした仕事は等しくなりません。

なお、高校物理の範囲では、「保存力=位置エネルギーが考慮されるもの」とイメージしてもらっても良いでしょう。

教科書にも、「重力による位置エネルギー」「弾性力による位置エネルギー」「静電気力による位置エネルギー」などはありますが、「摩擦力による位置エネルギー」はありません。

保存力は力学的エネルギー保存則を成り立たせる大切な要素ですので、今後問題を解いていく際に、物体に何の力がはたらいているかを注意深く読み取るようにしてください。







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