力学的エネルギー 問題演習

力学的エネルギー保存則の利用(小球の運動)

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(問)

図のように、地面に固定されている半径hの円の一部で構成されているコースターの点Aに、質量\(m\)の物体を置いて静かに離したところ、
おもりは離した地点からhだけ下がった点Bに達した後、点Bから\(\frac{h}{2}\)の高さの点Cでコースターから飛び出し、放物運動を行った。

コースターと物体の間に摩擦は無いものとして、以下の問いに答えよ。

(1)点Bにおける物体の速さ\(v_B\)を求めよ
(2)点Cにおける物体の速さ\(v_C\)を求めよ
(3)コースターから飛び出したあと、物体が達する最高点の地面からの高さを求めよ

条件より、コースターと物体との間に摩擦はありません。

したがって、運動中の物体にはたらいている力は重力(=保存力)のみですので、
物体の力学的エネルギー((重力による)位置エネルギー+運動エネルギー)は、どの時点でも一定です。

まずは各点において、位置エネルギーと運動エネルギーを求めてみましょう。

<位置エネルギー>

位置エネルギーを求める際にまず行うのは、基準点を決めることです。

この基準点ですが、実は取る場所に決まりはありません。

どこに取っても良いのですが、この問題では、物体の地面からの高さが刻々と変化していますので、動かない点Bを基準とすると、解きやすくなります。

点Bを基準とした場合、点A、B、Cの高さはそれぞれ\(h\)、\(0\)、\(\frac{h}{2}\)となるので、各点の位置エネルギーは、

点A・・・\(mgh\)

点B・・・\(0\)

点C・・・\(\frac{mgh}{2}\)

となります。

<運動エネルギー>

物体を離した瞬間は、まだ物体は動いていませんので、点Aにおける速さはゼロです。

よって、各点の運動エネルギーは、

点A・・・\(0\)

点B・・・\(\frac{1}{2}mv_B^2\)

点C・・・\(\frac{1}{2}mv_C^2\)

となります。

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以上から、各点の力学的エネルギーは、

点A・・・\(mgh\)+\(0\)=\(mgh\)

点B・・・\(0\)+\(\frac{1}{2}mv_B^2\)=\(\frac{1}{2}mv_B^2\)

点C・・・\(\frac{mgh}{2}\)+\(\frac{1}{2}mv_C^2\)

と求められます。

下準備ができたところで、実際の設問に移っていきましょう。

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(1)求めたいのは点Bの速さですので、点Aと点Bについて力学的エネルギー保存則を適用すると、

$$mgh=\frac{1}{2}mv_B^2$$

よって、

$$v_B=\sqrt{2gh}$$

(2)求めたいのは点Cの速さですので、点Aと点Cについて力学的エネルギー保存則を適用すると、

$$mgh=\frac{mgh}{2}+\frac{1}{2}mv_C^2$$

$$\frac{1}{2}mv_C^2=\frac{mgh}{2}$$

よって、

$$v_C=\sqrt{gh}$$

(3)コースターから飛び出した物体は勢いがありますので、そのまま放物運動(山なりの運動)をします。

これはつまり、

点Cから初速度\(v_C\)で斜方投射をしたことと同じです。

まずは、初速度\(v_C\)を水平方向と鉛直方向に分けてみます。

コースター中の物体は、点Oを中心として半径hの円周を移動しているとみなすことができますので、三角比の公式より、

初速度の水平成分(青ベクトル)は\(v_C\cos60°\)=\(\frac{v_C}{2}\)、

鉛直成分(赤ベクトル)は\(v_C\sin60°\)=\(\frac{\sqrt{3}}{2}v_C\)

です。

また、斜方投射では、投げ上げてからの物体の経路を水平方向と鉛直方向に分けたとき、それぞれの方向は下記のような運動をしています。

水平方向⇒等速直線運動

鉛直方向⇒鉛直上方投射

この二つの成分を合成したものが、物体の山なりの経路を作っているわけです。

今回(3)で求めたいのは最高点における速さですので、鉛直上方投射に着目します。

鉛直上方投射において、最高点に達した物体は速度がゼロになります。

つまり、最高点の物体の速度は、鉛直成分がゼロなので水平成分のみを考えればよく、その値は点Cの速度の水平成分(\(\frac{v_C}{2}\))と同じです(水平方向は等速直線運動をするから)。

したがって、求める高さを\(x\)として、点Aと最高点について力学的エネルギー保存則を適用すると、

$$mgh=mgx+\frac{m}{2}*(\frac{v_C}{2})^2$$

(2)より\(v_C\)=\(\sqrt{gh}\)であるから、

$$mgh=mgx+\frac{m}{2}*(\frac{\sqrt{gh}}{2})^2$$

$$=mgx+\frac{mgh}{8}$$

$$mgx=\frac{7mgh}{8}$$

よって、

$$x=\frac{7}{8}h$$

最高点は、スタート地点の高さ(\(h\))よりも低いことがわかります。

これは、最高点ではまだ物体に速さがあるため、力学的エネルギーが全て位置エネルギーとならなかったことが理由です。

※(3)の別解

斜方投射をしている物体の経路の鉛直成分は、先述しましたように鉛直上方投射ですから、下記の鉛直上方投射の公式を使う方法もあります。

$$v^2-v_0^2=-2gy$$

今回、初速度の鉛直成分は\(\frac{\sqrt{3}}{2}v_C\)=\(\frac{\sqrt{3gh}}{2}\)ですから、最高点で速度\(v\)がゼロとなることも考慮して代入すると、

$$0^2-(\frac{\sqrt{3gh}}{2})^2=-2gy$$

$$2gy=\frac{3gh}{4}$$

$$y=\frac{3h}{8}$$

これは点Cから最高点までの高さなので、地面から点Cまでの高さも加える必要があります。

よって求める高さは、

$$\frac{3h}{8}+\frac{h}{2}=\frac{7}{8}h$$

です。

今回の問題は解法がひとつではないので、好きなやり方で構いません。

ただ、後者の場合はコースターを離れた地点の、地面からの高さも加味する点に注意してください。







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