（問）
図のように、地面に固定されている半径hの円の一部で構成されているコースターの点Aに、質量\(m\)の物体を置いて静かに離したところ、
おもりは離した地点からhだけ下がった点Bに達した後、点Bから\(\frac{h}{2}\)の高さの点Cでコースターから飛び出し、放物運動を行った。
コースターと物体の間に摩擦は無いものとして、以下の問いに答えよ。
(1)点Bにおける物体の速さ\(v_B\)を求めよ
(2)点Cにおける物体の速さ\(v_C\)を求めよ
(3)コースターから飛び出したあと、物体が達する最高点の地面からの高さを求めよ
条件より、コースターと物体との間に摩擦はありません。
したがって、運動中の物体にはたらいている力は重力(＝保存力)のみですので、
物体の力学的エネルギー((重力による)位置エネルギー＋運動エネルギー)は、どの時点でも一定です。
まずは各点において、位置エネルギーと運動エネルギーを求めてみましょう。
＜位置エネルギー＞
位置エネルギーを求める際にまず行うのは、基準点を決めることです。
この基準点ですが、実は取る場所に決まりはありません。
どこに取っても良いのですが、この問題では、物体の地面からの高さが刻々と変化していますので、動かない点Bを基準とすると、解きやすくなります。
点Bを基準とした場合、点A、B、Cの高さはそれぞれ\(h\)、\(0\)、\(\frac{h}{2}\)となるので、各点の位置エネルギーは、
点A･･･\(mgh\)
点B･･･\(0\)
点C･･･\(\frac{mgh}{2}\)
となります。
＜運動エネルギー＞
物体を離した瞬間は、まだ物体は動いていませんので、点Aにおける速さはゼロです。
よって、各点の運動エネルギーは、
点A･･･\(0\)
点B･･･\(\frac{1}{2}mv_B^2\)
点C･･･\(\frac{1}{2}mv_C^2\)
となります。
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以上から、各点の力学的エネルギーは、
点A･･･\(mgh\)＋\(0\)＝\(mgh\)
点B･･･\(0\)＋\(\frac{1}{2}mv_B^2\)＝\(\frac{1}{2}mv_B^2\)
点C･･･\(\frac{mgh}{2}\)＋\(\frac{1}{2}mv_C^2\)
と求められます。
下準備ができたところで、実際の設問に移っていきましょう。
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(1)求めたいのは点Bの速さですので、点Aと点Bについて力学的エネルギー保存則を適用すると、
$$mgh＝\frac{1}{2}mv_B^2$$
よって、
$$v_B＝\sqrt{2gh}$$
(2)求めたいのは点Cの速さですので、点Aと点Cについて力学的エネルギー保存則を適用すると、
$$mgh＝\frac{mgh}{2}＋\frac{1}{2}mv_C^2$$
$$\frac{1}{2}mv_C^2＝\frac{mgh}{2}$$
よって、
$$v_C＝\sqrt{gh}$$
(3)コースターから飛び出した物体は勢いがありますので、そのまま放物運動(山なりの運動)をします。
これはつまり、
点Cから初速度\(v_C\)で斜方投射をしたことと同じです。
まずは、初速度\(v_C\)を水平方向と鉛直方向に分けてみます。
コースター中の物体は、点Oを中心として半径hの円周を移動しているとみなすことができますので、三角比の公式より、
初速度の水平成分(青ベクトル)は\(v_C\cos60°\)＝\(\frac{v_C}{2}\)、
鉛直成分(赤ベクトル)は\(v_C\sin60°\)＝\(\frac{\sqrt{3}}{2}v_C\)
です。
また、斜方投射では、投げ上げてからの物体の経路を水平方向と鉛直方向に分けたとき、それぞれの方向は下記のような運動をしています。
水平方向⇒等速直線運動
鉛直方向⇒鉛直上方投射
この二つの成分を合成したものが、物体の山なりの経路を作っているわけです。
今回(3)で求めたいのは最高点における速さですので、鉛直上方投射に着目します。
鉛直上方投射において、最高点に達した物体は速度がゼロになります。
つまり、最高点の物体の速度は、鉛直成分がゼロなので水平成分のみを考えればよく、その値は点Cの速度の水平成分(\(\frac{v_C}{2}\))と同じです(水平方向は等速直線運動をするから)。
したがって、求める高さを\(x\)として、点Aと最高点について力学的エネルギー保存則を適用すると、
$$mgh＝mgx＋\frac{m}{2}*(\frac{v_C}{2})^2$$
(2)より\(v_C\)＝\(\sqrt{gh}\)であるから、
$$mgh＝mgx＋\frac{m}{2}*(\frac{\sqrt{gh}}{2})^2$$
$$＝mgx＋\frac{mgh}{8}$$
$$mgx＝\frac{7mgh}{8}$$
よって、
$$x＝\frac{7}{8}h$$
最高点は、スタート地点の高さ(\(h\))よりも低いことがわかります。
これは、最高点ではまだ物体に速さがあるため、力学的エネルギーが全て位置エネルギーとならなかったことが理由です。
※(3)の別解
斜方投射をしている物体の経路の鉛直成分は、先述しましたように鉛直上方投射ですから、下記の鉛直上方投射の公式を使う方法もあります。
$$v^2－v_0^2＝－2gy$$
今回、初速度の鉛直成分は\(\frac{\sqrt{3}}{2}v_C\)＝\(\frac{\sqrt{3gh}}{2}\)ですから、最高点で速度\(v\)がゼロとなることも考慮して代入すると、
$$0^2－(\frac{\sqrt{3gh}}{2})^2＝－2gy$$
$$2gy＝\frac{3gh}{4}$$
$$y＝\frac{3h}{8}$$
これは点Cから最高点までの高さなので、地面から点Cまでの高さも加える必要があります。
よって求める高さは、
$$\frac{3h}{8}＋\frac{h}{2}＝\frac{7}{8}h$$
です。
今回の問題は解法がひとつではないので、好きなやり方で構いません。
ただ、後者の場合はコースターを離れた地点の、地面からの高さも加味する点に注意してください。