力学的エネルギー 運動量・力積

2つの物体の衝突で力学的エネルギー保存則は使えるか?

更新日:

下図のように、摩擦の無い水平面上を運動している物体AとBが、一直線上で互いに衝突する状況を考えます。

物体A・・・質量\(m\)、速度\(v_A\)
物体B・・・質量\(M\)、速度\(v_B\)
(\(v_A\)>\(v_B\))

衝突後、物体AとBは一体となって進みました。

この場合、衝突後の速度はどうなるでしょうか?

--------------------------

教科書などでは、こうした問題の解法に運動量保存則が使われています。

<運動量保存則>

物体系が内力を及ぼしあうだけで外力を受けていないとき,全体の運動量の和は一定に保たれる。

ではまず、運動量保存則を使って実際に解いてみます。

衝突後の速度を\(V\)とすると、運動量保存則より、

\(mv_A\)+\(Mv_B\)=\((m+M)V\)・・・(1)

∴ \(V\)=\(\large\frac{mv_A+Mv_B}{m+M}\)

(1)式の左辺は衝突前のそれぞれの運動量、右辺は衝突後の運動量です。

(衝突後、物体AとBは一体となったので、衝突後の質量の総和は\(m\)+\(M\)です。)

--------------------------

ではこのような問題を、力学的エネルギー保存則を使って解くことはできるでしょうか?

「保存力」と「力学的エネルギー保存則」でも紹介しましたが、力学的エネルギー保存則とは、次のようなものでした

<力学的エネルギー保存則>

●物体に保存力のみがはたらいている場合、その物体の力学的エネルギーは一定である。

●物体に保存力以外の力がはたらいていても、それらの力のする仕事がゼロの場合、その物体の力学的エネルギーは一定である。

試しに、求めたい速度を\(V\)とおいて、式を立ててみます。

今回の運動は水平面上なので、それぞれの物体の位置エネルギーは無いものと考えると、

力学的エネルギー保存則より、

\(\frac{1}{2}mv_A^2\)+\(\frac{1}{2}Mv_B^2\)=\(\frac{1}{2}(m+M)V^2\)

∴ \(V\)=\(\large\sqrt{\frac{mv_A^2+Mv_B^2}{m+M}}\)

黄線部分が、それぞれの法則を使って求めた速度のはずですが、これらは合致していません。

実は今回の例題では、物体の運動は力学的エネルギー保存則が使える条件を満たしてないのです。

運動の状態によって使える法則も変わる

冒頭の例題において運動の状況を見ていきますと、物体AとBは互いに衝突し、一体となっています。

この衝突する瞬間ですが、二つの物体は、下図のように互いに力を及ぼし合っています。

壁を押すと押し返されるように、相手に対して力を与えれば、同時に同じ大きさの力を受けます(作用・反作用の法則)。

ここで今一度、先程の力学的エネルギー保存則の一部を見てみます。

物体に保存力のみがはたらいている場合、その物体の力学的エネルギーは一定である。

法則にある「保存力」ですが、これには重力、弾性力、静電気力などが該当します。

ですが、今回衝突したことで、物体には保存力以外の力(=衝突時に受けた力)もはたらいています。

力学的エネルギーが保存するのは、「物体に保存力のみがはたらいている場合」なので、逆に言えば、物体に保存力以外の力がはたらいている場合は、力学的エネルギーは保存されないのです。

力学的エネルギーが保存されなければ、力学的エネルギー保存則は、残念ながら使うことができません。

なお、「二つの物体が衝突時に力を及ぼしあった」状況は、運動量保存則においては、「物体系が内力を及ぼしあった」部分に該当します。

このため、運動量保存則は成り立ちますが、力学的エネルギー保存則は成り立たないのです。

--------------------------

※例外として、二つの物体が互いに衝突する状況において、力学的エネルギーが保存されるケースもあります。

(こちらでご紹介しています。)







-力学的エネルギー, 運動量・力積

Copyright© 力学対策室 , 2021 All Rights Reserved Powered by STINGER.