仕事 力学的エネルギー

「エネルギーの原理」の導出と意味

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質量\(m\)の物体が、速度\(v_0\)の状態から距離\(L\)だけ移動し、速度が\(v_1\)に増加したとします。

この様子を等加速度運動の公式の中の「時間を含まない式」を使って表してみましょう。

時間を含まない式とは、次のようなものでした。

\(v^2-v^2_0\)=\(2ax\)

この式の\(v\)に\(v_1\)、\(v_0\)に\(v_0\)、\(x\)に\(L\)をそれぞれ代入すると、

\(v^2_1-v^2_0\)=\(2aL\)

両辺に\(\large\frac{m}{2}\)をかけると、

\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_1\)-\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_0\)=\(maL\)・・・・・①

また、物体の運動方程式は、加速度を\(a\)、加える力を\(F\)とすると\(ma\)=\(F\)と表されるので、これを①の右辺に代入すると、

\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_1\)-\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_0\)=\(FL\)・・・・・②

となります。

この式をちょっと見てみますと、\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_1\)は\(L\)だけ進んだ物体がもつ運動エネルギー、\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_0\)は進む前において物体がもつ運動エネルギーです。

つまり、②の左辺は運動エネルギーの変化量を表しています。

また、ある力がした仕事は、(力の大きさ)×(力の向きへの移動距離)なので、②の右辺は物体に加わった力がした仕事、すなわち物体がされた仕事を表しています。

したがって、物体の運動エネルギーの変化は、その物体にされた仕事に等しいことがわかります。

これを「エネルギーの原理」といいます。

別項で紹介している「力学的エネルギーの差分=非保存力がした仕事」と似ています。

また、②を変形すると、

\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_0\)+\(FL\)=\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_1\)

となりますが、これは速度\(v_0\)の物体が\(L\)移動する間、ずっと力\(F\)を加え続け、結果的に速度が\(v_1\)になったものと解釈できます。

「右向きに動く物体に力を加えて補助したので、速度が増加した」というイメージです。

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今度は、質量\(m\)の物体が、速度\(v_0\)の状態から距離\(L\)だけ移動し、速度が\(v_1\)に減少したとします。

等加速度運動の式から①を導くところまでは同じですが、ポイントは運動方程式との照らし合わせです。

この場合は減速しているので、負の加速度がはたらいています。

よって、運動方程式は\(m(-a)\)=\(F\)となり、\(ma\)=\(-F\)なので、これを①に代入すると、

\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_1\)-\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_0\)=\(-FL\)・・・・・③

が導けます。

また、③を変形すると、

\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_0\)-\(FL\)=\(\large\frac{m}{2}\)\(v^2_1\)

となりますが、これは速度\(v_0\)の物体が\(L\)移動する間、ずっと移動方向と逆向きに力\(F\)を加え続け、結果的に速度が\(v_1\)になったものと解釈できます。

「右向きに動く物体に力を加えて進行を妨げたので、速度が減少した」というイメージです。







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